Definisi Gelanggang (Rings Theory) dalam Matematika

Dalam posting kali ini saya akan membahas tentang salah satu materi pelajaran matematika khususnya Struktur Aljabar yaitu Gelanggang. Gelanggang dalam bahasa Inggris disebut Ring. Pembahasan tentang ring atau gelanggang ini tidak terlepas dari pembahasan tentang grup dan syarat-syarat yang memenuhi sebuah himpunan disebut grup.

Ring adalah suatu himpunan tak kosong yang memenuhi dua operasi biner terhadap penjumlahan dan perkalian. Tetapi perlu teman-teman ketahui bahwa gelanggang atau ring adalah sebuah teori matematika dimana sebuah grup memenuhi sifat-sifat tertentu dan memiliki kriteria tertentu untuk disebut atau dikatakan sebagai syarat-syarat menjadi gelanggang. Jadi gelanggang atau ring berisi grup dengan anggota yang terdefinisi dengan baik.

Menurut Wikipedia Bahasa Indonesia "Gelanggang (ring) adalah salah satu struktur aljabar, yang memiliki 2 (dua) operasi biner, yang biasanya disebut operasi "penjumlahan" dan "perkalian". Ini berbeda dengan grup yang hanya memiliki satu operasi biner". Berikut ini definisi dari gelanggang atau ring.

Definisi Gelanggang (Rings)

Misal R himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian (x) disebut gelanggang (ring) jika dan hanya jika :

1. (R,+) grup abelian/grup komutatif

Himpunan R dengan operasi penjumlahan (R,+) dikatakan grup abelian atau grup komutatif jika memenuhi sifat:

• Asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c) untuk suatu a,b,c ∈ R.
• Memiliki Unsur Identitas: Untuk setiap a ∈ R terdapat e ∈ R sedemikian sehingga a + e = e + a = a.
• Setiap Elemen Memiliki Invers: Untuk setiap a ∈ R terdapat (-a) ∈ R sedemikian sehingga a + (-a) = (-a) + a = e.
• Komutatif: a + b = b + a untuk suatu a,b ∈ R.

2. (R,x) semigrup

Himpunan R dengan operasi perkalian (R,x) merupakan semigrup jika memenuhi sifat:

• Tertutup: Untuk setiap a,b ∈ R, a x b ∈ R.
• Asosiatif: a (bc) = (ab) c untuk suatu a,b,c ∈ R.

3. (R,+,x) distributif

Himpunan R dengan operasi perkalian dan penjumlahan (R,+,x) memiliki sifat distributif jika:

• Distributif Kanan: Untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku a (b + c) = ab + ac
• Distributif Kiri: Untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku (a + b) c = ac + bc

Perlu kamu ketahui bahwa untuk mempermudah proses membaca lebih lanjut, penggunaan operasi perkalian simbolnya tidak dituliskan, jadi misalnya sebuah persamaan terdapat ab, maka artinya keduanya dikalikan menjadi a x b.

Jadi syarat agar suatu himpunan dikatakan gelanggang atau ring harus memenuhi sifat grup abelian terhadap penjumlahan, semigrup terhadap perkalian, serta distributif terhadap perkalian dan penjumalah. Untuk lebih jelasnya kamu bisa melihat gambar berikut ini.

Contoh himpunan yang merupakan gelanggang :

• Bilangan real
• Bilangan bulat

Definisi Gelanggang Komutatif (Abelian Rings)

Misal R gelanggang, R disebut gelanggang komutatif (abelian rings) jika dan hanya jika: untuk setiap a,b ∈ R maka berlaku ab = ba (operasi perkalian).

Contoh himpunan yang merupakan gelanggan komutatif :

• Bilangan real
• Bilangan bulat
• Bilangan rasional

Gelanggang dengan Unsur Kesatuan

Gelanggang R disebut gelanggang dengan unsur kesatuan jika dan hanya jika: terdapat 1_R ∈ R, sehingga untuk setiap a ∈ R berlaku a⋅1_R = 1_R⋅a = a.

Contoh himpunan yang merupakan gelanggan dengan unsur kesatuan :

• Bilangan real
• Bilangan bulat
• Bilangan rasional
• Bilangan matriks 2x2 elemen real

Gelanggang Tanpa Pembagi Nol

Gelanggang R disebut gelanggang tanpa pembagi nol jika dan hanya jika untuk setiap a,b ∈ R dengan ab = 0_R dimana 0_R ∈ R, maka a = 0_R atau b = 0_R.

Contoh himpunan yang merupakan gelanggan tanpa pembagi nol :

• Bilangan real
• Bilangan bulat
• Bilangan rasional

Integral Domain/Daerah Integral

Gelanggang R disebut integral domain atau daerah integral jika dan hanya jika gelanggang R merupakan gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan dan tidak memuat pembagi nol.

Contoh himpunan yang merupakan daerah integral :

• Bilangan real
• Bilangan bulat
• Bilangan rasional

Division Ring

Gelanggang R disebut "Division Ring" jika dan hanya jika gelanggang R merupakan gelanggang dengan unsur kesatuan dan setiap unsur tak-nol nya punya invers terhadap operasi perkalian.

Contoh himpunan yang merupakan division ring :

• Bilangan real
• Bilangan bulat
• Bilangan rasional

Field/Lapangan

Gelanggang R disebut field atau lapangan jika dan hanya jika gelanggang R merupakan gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan dan setiap unsur tak-nol nya punya invers terhadap perkalian.

Contoh himpunan yang merupakan division ring :

• Bilangan real
• Bilangan rasional

Karakteristik Gelanggang (Ring)

Karakteristik dari suatu gelanggang R adalah bilangan asli terkecil sehingga na = 0 untuk setiap a ∈ R, n ∈ bilangan asli. Jika tidak ada bilangan asli sehingga na = 0 untuk setiap a ∈ R maka karakteristik dari gelanggang R disebut "memiliki karakteristik nol" atau "karakteristik tak hingga".

Penutup

Itulah beberapa penjelasan singkat dan padat mulai dari Ring hingga Lapangan. Semoga pembahasan dalam tulisan ini bisa bermanfaat untuk kamu dan bisa memberikan wawasan baru. Apabila terdapat hal-hal yang kurang jelas dalam tulisan ini dan perlu ditanyakan, atau terdapat hal keliru yang perlu diluruskan, silakan sampaikan semuanya pada kolom komentar di bawah atau melalui halaman contact. Terima kasih dan sampai jumpa!